群在集合上的作用 轨道-稳定子定理

共轭作用

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轨道，稳定子

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全部定义

这一节的概念实在是太多了，所以就先列举下这一节出现的所有概念，以便于查找。

1. 群在集合上的作用（群作用）：群 $G$ 在集合 $\Omega$ 上的一个作用（简记为 $G\curvearrowright \Omega$），若映射

$$\begin{aligned}\sigma : G\times\Omega &\rightarrow \Omega\\(a, x)&\mapsto a\circ x\end{aligned}$$

满足：$(ab)\circ x = a\circ(b\circ x)$ 和 $e\circ x = x$，则称 $a\circ x$ 为 $G\curvearrowright\Omega$。

2. 由作用确定的同态 $\psi$（虽然不是定义，但很重要）：构造群 $G$ 到 $\Omega$ 的全体变换群上的映射 $\psi$ 如下：

$$\begin{aligned} \psi:G&\rightarrow S_{\Omega}\\ a&\mapsto\psi(a)(x):=a\circ x \end{aligned}$$

其中 $\psi(a)(x):=a\circ x$，表示将变换 $\psi(a)$ 定义为 $a\circ x$，也就是一个作用。

3. 作用的核：等价于 $\text{Ker }\psi = \{a\in G:a\circ x = x,\ \forall x\in\Omega\}$（$\Omega$ 上的恒同变换）；
   忠实的：一个作用是忠实的 $\iff \text{Ker}\psi = \{e\}$。

4. 左平移（一种作用）：

   • $G\curvearrowright G :=a\circ x = ax$
   • $G\curvearrowright (G/H)_l := a\circ xH=axH$

5. 共轭作用：$G\curvearrowright G:a\circ x = axa^{-1}$

6. 群 $G$ 的中心：$G$ 上共轭作用的核（ $G$ 中可以和每一个元素交换的元素）

$$\begin{aligned} \{a\in G: axa^{-1}=x,\ \forall x\in G\} = \{a\in G:ax=xa,\ \forall x\in G\} \end{aligned}$$

7. 自同构：$G\rightarrow G$ 上的同构；
   内自同构 $\sigma_a$（一种特殊的自同构，由共轭作用定义）：$\begin{aligned}\sigma_a:G&\rightarrow G\\x&\mapsto axa^{-1}\end{aligned}$

8. 自同构群：$\text{Aut }(G):=\{G\text{ 上的全体自同构}\}$，运算为映射的乘法（复合）；
   内自同构群：$\text{Inn }(G):=\{\sigma_a:a\in G\}$，运算为映射的乘法（复合）

9. $x$ 的 $G-\text{轨道}$：$G(x) = \{a\circ x:a\in G\}$

10. $\Omega$ 的 $G-\text{轨道}$ 的完全代表系：$\{x_1,x_2,\cdots, x_r\}$，满足 $\displaystyle\Omega = \bigsqcup_{i=1}^rG(x_i)$

11. $x$ 的稳定子群：$G_x = \{a\in g:a\circ x = x\}$

12. $x$ 的共轭类：共轭作用下 $x$ 的 $G - \text{轨道}\iff G(x) = \{axa^{-1}:a\in G\}$

13. 有限群 $G$ 的类方程：$\displaystyle|G| = |Z(G)| + \sum_{i=1}^r|G(x_j)|$，其中 $x_1,\cdots,x_j$ 是非中心元素的共轭类的完全代表系。

14. $x$ 在 $G$ 里的中心化子：共轭作用下的稳定子群，记为 $C_G(x) := G_x = \{g\in G: gxg^{-1} = x\}$

15. $G\curvearrowright \Omega$ 是传递的 $\iff$ $\Omega$ 中的轨道数 $r = 1$，此时称 $\Omega$ 为 $G$ 的一个齐次空间。

16. $g$ 的不动点集：$F(g):=\{x\in\Omega:g\circ x = x\}$
    $x$ 是群 $G$ 的一个不动点 $\iff |G(x)| = 1$
    群 $G$ 的不动点集：$\{x\in\Omega:|G(x)| = 1\}$

17. 群 $G$ 为 $p-\text{群}\iff |G| = p^m,\ (m\geqslant 1,\ p\text{为素数})$