Gauss定理 Stokes公式

上星期讲完了第一型和第二型曲面积分的定义及计算方法，这讲了两个（ $Newton-Leibniz$ 公式的推广）定理，在适当的条件下运用可以大大降低计算复杂度，通过 $Gauss$ 定理可以将第二型曲面积分转换为体积积分，$Stokes$ 定理可以将第二型曲线积分转换为第二型曲面积分，它们的证明方法直接或类似于之前 $Green$ 公式的证明。

Gauss 定理（散度定理）

定义1（分片光滑）

设 $\Omega\subset \mathbb R^3$ 为开集，$\partial\Omega = \bigcup_{i=1}^NS_i$，其中：

1. $S_i,\quad i=1\sim N$ 为内部互不相交的光滑曲面。

2. $\forall P\subset S_i^\circ$，$\partial \Omega$ 在 $P$ 点光滑。

则称 $\partial \Omega$ 分片光滑。

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其中，开集在某点处光滑的定义见： Green公式 - 定义1（某点处光滑），$S_i^\circ$ 表示 $S_i$ 的内部。

定义2（单位外法向）

设 $\Omega\subset \mathbb R^3$ 为开集，$\partial \Omega$ 分片光滑，如果 $\forall p\in \partial \Omega$，$\partial \Omega$ 在 $P$ 点光滑，称 $\partial \Omega$ 光滑，$\vec{n}:\partial \Omega\rightarrow \mathbb R^3$，$\vec{n}(P)$ 为 $\partial \Omega$ 在 $P$ 点的单位外法向，$\vec{n}$ 连续，称 $\vec{n}$ 为 $\partial \Omega$ 的单位外法向（量场）。

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其中，开集在某点处的单位外法向的定义见：Green公式 - 定义1（单位外法向量）。

命题3（单位外法向的唯一性）

$\exists !\ S_i$ 的一个定向 $\vec{n}$，使得 $\forall p\in S_i^\circ$，$\vec{n}(P)$ 为 $\partial \Omega$ 在 $P$ 点的单位外法向，称 $\vec{n}$ 为 $S_i$ 的正向。

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每个点处的单位外法向是唯一的，所以 $\vec{n}$ 也是唯一的。

定理4（Gauss 定理）

设 $\Omega\subset \mathbb R^3$ 为有界区域，$\partial \Omega$ 分片光滑，设 $P,Q,R:\overline{\Omega}\rightarrow \mathbb R$ 连续可微，则

$$\int_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\,dx\,dy\,dz=\int_{\partial \Omega}P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy$$

$\partial \Omega$ 光滑，$\vec{n}:\partial \Omega\rightarrow\mathbb R^3$ 为 $\partial \Omega$ 上的单位外法向，$\vec{F} = (P,Q,R),\ \text{div }\vec{F}=\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}$，其中 $\text{div }\vec{F}$ 称为 $\vec{F}$ 的散度（所以也称为散度定理），则上式等价于

$$\int_{\Omega}\text{div }\vec{F}\,dx\,dy\,dz=\int_{\partial\Omega}\vec{F}\cdot\vec{n}\,d\sigma$$

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注：$Gauss$ 定理中第二型曲面积分的方向为 $\partial \Omega$ 的单位外法向，也就是与 $\Omega$ 的选取有关。

类似于 Green公式在特殊条件下的证明，$Gauss$ 定理也给出其在特殊限制下的证明，做出如下假设：

AS1： $\exists\varphi_1,\varphi_2:\overline{D}\rightarrow \mathbb R$，$D\subset\mathbb R^2$ 为有界域，$\partial D$ 分段光滑，$\varphi_1,\varphi_2\in C^1$，且对 $\forall (x, y)\in D$，有$\varphi_1(x,y)<\varphi_2(x,y)$，设

$$\Omega=\{(x, y, z):(x, y)\in D,\varphi_1(x,y)< z< \varphi_2(x, y)\}$$

如果 $\exists (x, y)\in \partial D$，使 $\varphi_1(x, y) < \varphi_2(x, y)$，记

$$\sum=\{(x, y, z):(x, y)\in \partial D,\ \varphi_1(x, y)\leqslant z\leqslant \varphi_2(x, y)\}$$

则 $\sum=\bigcup_{i=1}^NS_i$，其中 $S_i,\ i=1\sim N$ 为内部互不相交的光滑曲面。

理解：可以参考下面这个图像：

上图中，$\sum$（侧面）可以分为 $4$ 个内部互不相交的光滑曲面的并 $S_i,\ i=1\sim 4$，不难看出，这是对 $\Omega$ 以 $Oxy$ 为平面的分法，$\sum$ 平行于 $z$ 轴（也可以看作是“上下”分），同理还有AS2：平行 $y$ 轴（左右分），AS3：平行 $x$ 轴（前后分），这里就不一一举出了。

证明： 将 $Gauss$ 定理分为三部分：

$$\begin{aligned} \text{①}\int_{\Omega}\frac{\partial P}{\partial x} = \int_{\partial\Omega}P\,dy\,dz\quad \text{②}\int_{\Omega}\frac{\partial Q}{\partial y} = \int_{\partial\Omega}Q\,dz\,dx\quad \text{③}\int_{\Omega}\frac{\partial R}{\partial z} = \int_{\partial\Omega}R\,dx\,dy \end{aligned}$$

通过假设 AS3,AS2,AS1 可以分别证明 $\text{①，②，③}$，下面利用 AS1 证明 $\text{③}$。

设底面为 $\Omega_1$，则 $\vec{r}(x,y)=(x,y,\varphi_2(x,y))$ 为 $\Omega_1$ 的参数方程，则由 $\vec{r}$ 所确定的 $\Omega_1$ 的正向为：

$$\begin{aligned} \vec{n}=&\frac{\vec{r}_x\times\vec{r}_y}{|\vec{r}_x\times\vec{r}_y|}\\ =&\frac{1}{|\vec{r}_x\times\vec{r}_y|}(-\frac{\partial\varphi_2}{\partial x},-\frac{\partial\varphi_2}{\partial y}, 1) \end{aligned}$$

所以不难发现，$\vec{n}$ 和 $z$ 轴正方向的夹角一定是锐角，所以 $\vec{n}$ 都是斜向上的，但这是和图中 $\varphi_1$ 的外法向 $\vec{n}$ 向下相反，在运算时注意加上负号。

$$\begin{aligned} \text{右式}=&\int_{\partial \Omega}R(x,y,z)\,dx\,dy\\ =&\int_{\text{graph }\varphi_2}R(x,y,z)\,dx\,dy+\int_{\text{graph }\varphi_1}R(x,y,z)\,dx\,dy+\int_{\sum}R(x,y,z)\,dx\,dy\\ \xlongequal{\text{注意方向}\varphi_2\text{变为负号}}&\int_DR(x,y,\varphi_2(x,y))\,dx\,dy-\int_DR(x,y,\varphi_1(x,y))\,dx\,dy+\int_{\sum}(0,0,R)\cdot\vec{n}\,d\sigma\\ \xlongequal{\text{由图可以看出}\vec{n}\text{与}(0,0,R)垂直}&\int_DR(x,y,\varphi_2(x,y))\,dx\,dy-\int_DR(x,y,\varphi_1(x,y))\,dx\,dy\\ \text{左式}=&\int_{\Omega}\frac{\partial R}{\partial z}\,dx\,dy\,dz\\ =&\int_D\left\{\int_{\varphi_1(x,y)}^{\varphi_2(x,y)}\frac{\partial R}{\partial z}\,dz\right\}\,dx\,dy\\ =&\int_D R(x,y,\varphi_2(x,y))\,dx\,dy-\int_DR(x,y,\varphi_1(x,y))\,dx\,dy\\ \text{故，}\text{左式}=\ &\text{右式} \end{aligned}$$

例一

$S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2= R^2\}$，$S$ 的正向为单位外法向量，求

$$I=\int_Sx^2\,dy\,dz+y^2\,dz\,dx+z^2\,dx\,dy$$

解： 令 $A=(a,b,c)$，则

$$\begin{aligned} I =& \int_{\partial B_R(A)}(x^2,y^2,z^2)\cdot\vec{n}\,d\sigma\\ \xlongequal{\text{Gauss}}& \int_{B_R(A)}(2x+2y+2z)\,dx\,dy\,dz\\ =& 2\int_{B_R}(x+y+z+a+b+c)\,dx\,dy\,dz\\ =&\frac{8}{3}\pi R^3(a+b+c) \end{aligned}$$

Stokes 公式（旋度定理）

$Stokes$ 公式，建立了曲面第二型积分到曲线第二型积分的关系，所以先要建立曲面的正向和曲面边界（曲线）的正向之间的关系，下面会分别定义两者的关系，并且给出几何判断方法。

下文中，设 $S\subset \mathbb R^3$ 为定向曲面，$\vec{n}$ 为 $S$ 的正向，设 $\vec{r}:\overline{D}\rightarrow S$ 为 $S$ 的参数方程， $D\subset \mathbb R^2$，$\partial D$ 分段光滑，则 $\partial D=\bigcup_{i=1}^NC_i$，其中 $C_i$ 为互不相交的光滑曲线，$\partial D$ 的定向，按照 $Green$ 公式 中的定向确定

$$\partial S=\bigcup_{i=1}^N\vec{r}(C_i)=:\bigcup_{i=1}^N\widetilde{C_i}$$

其中 $\widetilde{C_i}:= \vec{r}(C_i)$， 也就是由 $C_i$ 这段二维曲线所确定的三维图像 $\Omega$ 的边界。

记 $\vec{r}_s = D_1\vec{r}$，所以曲面 $S$ 的正向，记为：

$$\vec{n}=\frac{\vec{r}_s\times\vec{r}_t}{|\vec{r}_s\times\vec{r}_t|}=\frac{D_1\vec{r}\times D_2\vec{r}}{|D_1\vec{r}\times D_2\vec{r}|}$$

定义1（曲面边界的定向）

设 $\alpha:[a,b]\rightarrow C_i$ 为 $C_i$ 的参数方程，并且 $C_i$ 的正向为 $\widehat{\alpha'}\circ\alpha^{-1}$，则 $\beta=\vec{r}\circ\alpha$ 为 $\widetilde{C_i}$ 的参数方程，如果

$$\vec{n}=\frac{D_1\vec{r}\times D_2\vec{r}}{|D_1\vec{r}\times D_2\vec{r}|}$$

规定 $\widetilde{C_i}$ 的正向为 $\widehat{\beta'}\circ\beta^{-1}$，如果

$$\vec{n}=-\frac{D_1\vec{r}\times D_2\vec{r}}{|D_1\vec{r}\times D_2\vec{r}|}$$

规定 $\widetilde{C_i}$ 的正向为 $-\widehat{\beta'}\circ\beta^{-1}$。

几何判断方法

设 $P$ 为曲面边界上一点，则下面三者满足右手定则：曲线的正向 $\vec{\tau}_P$，曲面在 $P$ 处的内法向 $\vec{m}_P$，曲面在 $P$ 处的正向 $\vec{n}$，可以参考下图：

定理2（Stokes 公式）

设 $S\subset \mathbb R^3$ 为定向曲面，$P,Q,R:S\rightarrow \mathbb R$，$P,Q,R\in C^1(S)$，则

$$\begin{aligned} \int_{\partial S}P\,dx\ +\ &Q\,dy+R\,dz\\ =&\int_S\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\,dy\,dz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\,dz\,dx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dx\,dy \end{aligned}$$

令 $\vec{F}=(P,Q,R)$，定义旋度为：

$$\begin{aligned} \text{rot }\vec{F}=\ &\nabla\times\vec{F}\\ =&\left|\begin{matrix} i&j&k\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ P&Q&R \end{matrix}\right|\\ =&\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \end{aligned}$$

其中，$\nabla = (\dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial}{\partial y},\dfrac{\partial}{\partial z})$，则 $Stokes$ 公式有以下简化版：

$$\int_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{s}=\int_S\text{rot}\vec{F}\cdot d\vec{\sigma}$$

计算时为避免错误，可以使用简化版公式计算。

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证明留到下一个note了（然而老师直接到Fourier级数了，这个证明就咕掉了😢），这里举一个计算的例子，题目和 第二型曲线积分 - 例一 相同，图形可以参考 第二型曲线积分 - 例一 中所作的图。

例一

设 $C=\{(x,y,z)\in \mathbb R^3:x^2+y^2+z^2=R^2,x+y+z=0\}$，$C$ 的正向为逆时针方向，计算：

$$I=\int_Cz\,dx+x\,dy+y\,dz$$

解： 设 $S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:x^2+y^2+z^2\leqslant R^2,x+y+z=0\}$，$S$ 的正向为 $\vec{n}=(1,1,1)/\sqrt{3}$（正向的确定方法可以参考 几何判断方法 ），则

$$\begin{aligned} I=\int_{\partial S}z\,dx+x\,dy+y\,dz =& \int_{\partial S}(z,x,y)\cdot d\vec{s}\\ =&\int_S\text{rot}(z,x,y)\cdot d\vec{\sigma}\\ =&\int_S\text{rot}(z,x,y)\cdot(1,1,1)/\sqrt{3}\,d\sigma\\ =&\ \frac{1}{\sqrt{3}}\int_S\left|\begin{matrix} 1&1&1\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\z&x&y \end{matrix}\right|\,d\sigma\\ =&\frac{1}{\sqrt{3}}\int_S3\,d\sigma\\ =&\sqrt{3}\,\sigma(S)\\ =&\sqrt{3}\,\pi R^2 \end{aligned}$$