上周我们证明了 f:R→Rf:\mathbb R\rightarrow \mathbb Rf:R→R，周期为 2π2\pi2π，且f∣[−π,π]∈L1([−π,π])f\biggl|_{[-\pi,\pi]}\in L^1([-\pi,\pi])f∣∣∣∣∣​[−π,π]​∈L1([−π,π])，f(x0+),f(x0−)f(x_0^+),f(x_0^-)f(x0+​),f(x0−​) 存在，若

三角多项式： Pn=a02+∑k=1n{akcos⁡kx+bksin⁡kx}P_n = \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^n\left\{a_k\cos kx+b_k\sin kx\right\} Pn​=2a0​​+k=1∑n​{ak​coskx+bk​sinkx} 称为三角多项式，若 an 或 bn≠0a_n\ \text{或}\ b_n\neq 0an​ 或 bn​=0，则

设 f:A⊂R→Cf:A\subset \mathbb R\rightarrow \mathbb Cf:A⊂R→C，fff 是实数到复数的一个映射，则 f(x)=u(x)+icot⁡v(x)f(x) = u(x) + i\cot v(x)f(x)=u(x)+icotv(x)，u,v:A→Ru, v:A\rightarrow \mathbb Ru,v:A→R，定义 ∫Af:=∫Au+i∫Av\int

第一周定义了一些与Riemann积分有关的定义，利用Darboux积分来判断可积性，还有Lebesgue定理也有来判断可积性。 有关多元函数积分的性质，可以和一元函数积分性质进行类比，有很多相似之处。 上面的积分都是在闭方体上定义的，那么如果放到一个任意一个 Rn\mathbb R^nRn 上的有界集，应该通过延拓和限制，进行问题转化。 下文中的Riemann积分都用积分代替了。 多元函数积分的

为了进一步计算多元积分，使用Fubini定理不完全够，加上变量代换，就可以结合各种变换，计算积分。 多元积分变量代换 命题1（体积变化率=Jacobi行列式的绝对值） 设 φ:U→V\varphi:U\rightarrow Vφ:U→V 为双射，U,V⊂RnU, V\subset \mathbb R^nU,V⊂Rn 为开集，φ∈C1,∀x∈U,det (Dφ(x))≠0\varphi\in C

第三周讲完了积分中值定理（也就是积分性质应该讲完了），积分中值定理多用于估计积分值，可以利用一个函数值来估计整个积分的值，并学了如何使用Fubini定理去计算多元函数积分值。 多元函数积分中值定理 定义1（有界集的“体积”，积分平均值，加权积分平均值） 设 A⊂RnA\subset \mathbb R^nA⊂Rn 有界，m∗(∂A)=0m^*(\partial A)=0m∗(∂A)=0，则称

第六周把重积分讲完了进入下一章（好像没讲广义重积分），进入学习曲线积分，先是定义较多，对定义的理解很重要，上一章的习题课还要补（）。 （分段）光滑曲线及其长度 定义1（简单曲线） 设 C⊂RnC\subset \mathbb R^nC⊂Rn，α:[a,b]→C\alpha:[a, b]\rightarrow Cα:[a,b]→C，满足： α\alphaα 为双射。 α,α−1\alph

第七周定义了第二型曲线积分（物理含义是变力做功）及其计算方法，GreenGreenGreen 公式定义基本完成。 第二型曲线积分 设 AB−→\mathop{AB}\limits^{-\rightarrow}AB−→ 为 nnn 维空间中的向量，则称它的单位向量为 AB→^=AB−→∣AB−→∣\widehat{\mathop{AB}\limits^{\rightarrow}}=\frac{\m

这周基本讲完了曲线积分，在图像比较容易刻画的前提下的证明了Green公式，开始进入曲面积分，曲面积分可以看作是二维的参数形式，虽然曲面面积的定义没有定义完备（完备的定义要用测度论的知识），但通过微分的形式，转换为求平行四边形的面积，再求和从而得出了曲面积分的定义。 Green公式（Newton-Leibniz 公式推广） 设 Ω⊂R2\Omega\subset \mathbb R^2Ω⊂R2 为

第一型曲面积分 定义1（第一型曲面积分） 设 S⊂R3S\subset \mathbb R^3S⊂R3 为光滑曲面，f:S→Rf:S\rightarrow \mathbb Rf:S→R，设 r⃗:[a,b]×[c,d]→S\vec{r}:[a,b]\times[c,d]\rightarrow Sr:[a,b]×[c,d]→S 为 SSS 的参数方程，设 π:a=s0<s1<⋯<