曲线及其长度 第一型曲线积分
第六周把重积分讲完了进入下一章（好像没讲广义重积分），进入学习曲线积分，先是定义较多，对定义的理解很重要，上一章的习题课还要补（）。 （分段）光滑曲线及其长度 定义1（简单曲线） 设 C⊂RnC\subset \mathbb R^nC⊂Rn，α:[a,b]→C\alpha:[a, b]\rightarrow Cα:[a,b]→C，满足： α\alphaα 为双射。 α,α−1\alph
多元积分变量代换及应用
为了进一步计算多元积分，使用Fubini定理不完全够，加上变量代换，就可以结合各种变换，计算积分。 多元积分变量代换 命题1（体积变化率=Jacobi行列式的绝对值） 设 φ:U→V\varphi:U\rightarrow Vφ:U→V 为双射，U,V⊂RnU, V\subset \mathbb R^nU,V⊂Rn 为开集，φ∈C1,∀x∈U,det (Dφ(x))≠0\varphi\in C
第二型曲线积分 Green公式
第七周定义了第二型曲线积分（物理含义是变力做功）及其计算方法，GreenGreenGreen 公式定义基本完成。 第二型曲线积分 设 AB−→\mathop{AB}\limits^{-\rightarrow}AB−→ 为 nnn 维空间中的向量，则称它的单位向量为 AB→^=AB−→∣AB−→∣\widehat{\mathop{AB}\limits^{\rightarrow}}=\frac{\m
Green公式在限制条件下的证明 Gauss定理 曲面面积定义及求法
这周基本讲完了曲线积分，在图像比较容易刻画的前提下的证明了Green公式，开始进入曲面积分，曲面积分可以看作是二维的参数形式，虽然曲面面积的定义没有定义完备（完备的定义要用测度论的知识），但通过微分的形式，转换为求平行四边形的面积，再求和从而得出了曲面积分的定义。 Green公式（Newton-Leibniz 公式推广） 设 Ω⊂R2\Omega\subset \mathbb R^2Ω⊂R2 为
第一型曲面积分&第二型曲面积分
第一型曲面积分 定义1（第一型曲面积分） 设 S⊂R3S\subset \mathbb R^3S⊂R3 为光滑曲面，f:S→Rf:S\rightarrow \mathbb Rf:S→R，设 r⃗:[a,b]×[c,d]→S\vec{r}:[a,b]\times[c,d]\rightarrow Sr:[a,b]×[c,d]→S 为 SSS 的参数方程，设 π:a=s0<s1<⋯<
Gauss定理 Stokes公式
上星期讲完了第一型和第二型曲面积分的定义及计算方法，这讲了两个（ Newton−LeibnizNewton-LeibnizNewton−Leibniz 公式的推广）定理，在适当的条件下运用可以大大降低计算复杂度，通过 GaussGaussGauss 定理可以将第二型曲面积分转换为体积积分，StokesStokesStokes 定理可以将第二型曲线积分转换为第二型曲面积分，它们的证明方法直接或类似于
n维球体积公式
学习完 Fubini定理 和 积分变量替换 之后，基本就可以求解这个问题了。 问题 记 B1={x∈Rn:∣x∣<1},n维单位球BR={x∈Rn:∣x∣<R},n维半径为R的球ωn=V(B1)=∫B11 dx,n维球的体积In=∫0π2cosnθ dθ,过程量\begin{aligned} B_1 &= \{x\in\mathbb R^n: |x| < 1\},\q
数分Ⅲ 笔记目录
大二上的数分课程笔记，主要都是老师的板书 多元函数的 RiemannRiemannRiemann 积分 note1. 多元函数的 Riemann积分 Darboux积分 Lebesgue外侧度 note2. 多元函数Riemann积分的性质 有界集上的积分 note3. 多元函数积分中值定理 Fubini定理 note4. 多元积分变量代换及应用 练习. n维球体积公式 曲线、曲面积分 not