大二上的数分课程笔记，主要都是老师的板书 多元函数的 RiemannRiemannRiemann 积分 note1. 多元函数的 Riemann积分 Darboux积分 Lebesgue外侧度 note2. 多元函数Riemann积分的性质 有界集上的积分 note3. 多元函数积分中值定理 Fubini定理 note4. 多元积分变量代换及应用 练习. n维球体积公式 曲线、曲面积分 not

命题 设 GGG 是有限 Abel\text{Abel}Abel 群，记它的阶 ∣G∣=n|G| = n∣G∣=n，幺元为 eee，则对于任意的 a∈Ga\in Ga∈G 都有 an=ea^{n} = ean=e。 证明： 设 G={a1,a2,⋯ ,an}G = \{a_1,a_2,\cdots,a_n\}G={a1​,a2​,⋯,an​}，对于 ∀g∈G\forall g\in G∀g∈G，

共轭作用 网页链接 轨道，稳定子 网页链接 全部定义 这一节的概念实在是太多了，所以就先列举下这一节出现的所有概念，以便于查找。 群在集合上的作用（群作用）：群 GGG 在集合 Ω\OmegaΩ 上的一个作用（简记为 G↷ΩG\curvearrowright \OmegaG↷Ω），若映射 σ:G×Ω→Ω(a,x)↦a∘x\begin{aligned}\sigma : G\time

定义1 （循环群） 定义1：设 GGG 为群运算记为乘法 ⋅\cdot⋅，若 ∃a∈G,∀g∈G,∃n∈Z>0,使得g=an\exists a\in G, \forall g\in G, \exists n\in\mathbb{Z}_{>0}, \text{使得} g = a^n∃a∈G,∀g∈G,∃n∈Z>0​,使得g=an。 则称 GGG 为循环群，将 aaa 称为 GG

由于这一节内容前后关联性比较强，为了更清楚的表示定义，命题，定理之间的上下关系，就使用了思维导图，先安利下我用的思维导图网站 ZhiMap，它的好处主要在于可以打数学公式，而且免费，速度很快，手机也可以编辑，它的历史记录功能有点意思，基本可以做到实时保存，感觉应该和 gitgitgit 的原理类似，撤销操作很稳定。 定理的证明思路也一同写在脑图上面了。 推荐直接打开网页版

第一章 度量空间（距离空间） 定义1.1（度量，度量空间） 设 XXX 为非空集合，ρ(x,y)\rho(x, y)ρ(x,y) 是 XXX 上的一个双变元的实值函数，满足：（x,y,z∈Xx,y,z\in Xx,y,z∈X） 正定性：ρ(x,y)⩾0\rho(x, y)\geqslant 0ρ(x,y)⩾0 且 ρ(x,y)=0  ⟺  x=y\rho(x, y) = 0\iff x =

本次笔记参考 Stein Shakarchi 1 Fourier Analysis 218页到223页的内容，下文只证明了 ZNZ_NZN​ 中的傅里叶变换，更一般的，在 Abel\text{Abel}Abel 群中的傅里叶变换可以参考此书。 DFT 与 IDFT DFT:Discrete Fourier Transform 离散傅里叶变换 IDFT:Inverse Discrete Four

数学分析第一周，讲了多元函数关于 RiemannRiemannRiemann 积分的定义和 DarbouxDarbouxDarboux 积分的等价证明，定义了 LebesgueLebesgueLebesgue 外侧度及其一些性质。 多元函数的 RiemannRiemannRiemann 积分的定义，总体思路和一元函数的定义类似，通过定义多元空间中的一个分划，然后定义出 RiemannRiemann

第十一周考了期中，感觉裂开（我tcl；任何周期为 2π2\pi2π 的函数都可以表示为傅里叶级数（一种三角级数），然后就可以将难以积分、求导的函数变化为易于积分的三角级数。 定义1（三角级数） 设 ak∈R, k=0,1,⋯ , bk∈R, k=1,2,⋯a_k\in \mathbb R,\ k=0,1,\cdots,\ b_k\in\mathbb R,\ k=1,2,\cdotsak​∈R,

命题1（分段常数逼近） 设 f∈L1([a,b])f\in L^1([a,b])f∈L1([a,b])，则 ∀ε>0, ∃g:[a,b]→R\forall \varepsilon > 0,\ \exists g : [a, b]\rightarrow \mathbb R∀ε>0, ∃g:[a,b]→R，ggg 为分段常数，使 ∫ab∣f−g∣<ε\int_a^b|f-g|